Le théorème d’incomplétude de Gödel

Le théorème d'incomplétude de Gödel

Le théorème d’incomplétude de Gödel a révolutionné la logique. Avant ce résultat, les théoriciens partaient du principe que toutes les vérités mathématiques étaient susceptibles d’être démontrées par déduction. Or, le mathématicien austro-américain Kurt Gödel a réfuté l’hypothèse de la cohérence des mathématiques dans une démonstration formelle inédite.

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Le théorème de Gödel s’énonce en deux versions. Elles ont toutes les deux été publiées en 1930 dans l’article Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés. La première version, dite « théorème d’inconsistance », signifie précisément qu’une théorie qui suffit à justifier les théorèmes essentiels de l’arithmétique (la science des nombres) est forcément incomplète, au sens où elle ne permet pas de trancher la validité de certains énoncés – ils sont dits « indécidables ». Elle montre plus généralement que les mathématiques rendent possible, dans certains cas, de démontrer à la fois un énoncé et son contraire. Ce résultat est remarquable en logique dans la mesure où il s’oppose à la conception aristotélicienne de la vérité comme non-contradiction, selon laquelle deux énoncés contraires ne peuvent pas être vrais en même temps. La seconde version du théorème est la plus célèbre : c’est le « théorème d’incomplétude » proprement dit. Elle affirme qu’une théorie mathématique cohérente comporte nécessairement des vérités mathématiques impossibles à démontrer. Autrement dit, une telle théorie est toujours incomplète, c’est-à-dire qu’elle comprend des énoncés ni démontrables – impossible de les déduire des axiomes de la théorie – ni réfutables – impossible non plus d’en déduire leur négation. Ainsi, les deux versions du théorème de Gödel révèlent que les mathématiques rencontrent des limites dans leur propre univers.

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Le théorème d’incomplétude de Gödel a été étendu

Le théorème d’incomplétude de Gödel a été transposé à la philosophie. Admiratives à l’égard de cette découverte majeure qui a introduit une rupture dans l’histoire de la logique, les sciences humaines ont essayé d’en tirer des conséquences hors du champ des mathématiques. Elles ont adopté l’idée selon laquelle une théorie ne peut pas être à la fois « complète », c’est-à-dire tout expliquer, et « cohérente », soit être constituée d’éléments non contradictoires – il existera toujours des énoncés vrais, mais indémontrables. Par exemple, Régis Debray se réfère au théorème d’incomplétude de Gödel en philosophie politique. Il en déduit qu’une communauté doit obligatoirement se définir par l’intermédiaire d’une référence extérieure transcendante, dont les figures nationales mythiques sont susceptibles de faire partie. La société ne pourrait pas être cohérente sans cette référence extérieure. « Du jour où Gödel a démontré qu’il n’existe pas de démonstration de consistance de l’arithmétique de Peano formalisable dans le cadre de cette théorie (1931), écrit le sémiologue, les politologues avaient les moyens de comprendre pourquoi il fallait momifier Lénine et l’exposer aux camarades « accidentels » sous un mausolée, au Centre de la Communauté nationale » (Le scribe : Genèse du politique). En d’autres termes, un ensemble politique disposant de discours justifiant son existence et sa légitimité – en vertu desquels il est théoriquement « complet » – il ne pourrait pas trouver sa cohérence en lui-même. Le théorème de Gödel impliquerait donc que la cohésion sociale dépendrait de références extérieures transcendantes.

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La transposition du théorème d’incomplétude de Gödel est contestable. Les mathématiciens et les logiciens rappellent volontiers que le théorème n’est a priori valable que dans le cadre de systèmes formels dédiés au raisonnement logique. Ainsi, le théorème dit « de Gödel-Debray » passe parfois pour une imposture. Dans Prodiges et vertiges de l’analogie, par exemple, le philosophe Jacques Bouveresse dénonce cette extension abusive du théorème de Gödel à la théorie des systèmes sociaux et politiques : « Debray a tiré à certains moments des conséquences qui sont pour le moins étonnantes, comme […] le fait « qu’il est rationnel qu’il y ait de l’irrationnel dans les groupes car s’il n’y en avait pas, il n’y aurait pas de groupe » (…) ou le fait qu’en vertu de l’incomplétude, un ensemble (mais on croyait jusqu’ici que l’incomplétude avait trait à des systèmes formels, et non à des ensembles) ne peut s’auto-engendrer et être causa sui ». Dans le détail, les communautés ne constituent pas des systèmes formalisés au même titre que les mathématiques ; on ne peut pas leur appliquer des concepts tels que la vérité et la cohérence ; l’extériorité de la référence ne peut pas être définie avec rigueur ; enfin, Régis Debray mélange avec négligence les deux versions du théorème de Gödel. Plus récemment, les frères Bogdanov ont argué du théorème d’incomplétude pour démontrer l’existence de Dieu : l’univers (matériel et temporel) étant logique, il serait incomplet ; donc sa cause lui serait extérieure, ce qui signifie qu’elle serait immatérielle et intemporelle.

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